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概率论与数理统计的应用领域

一、概率论的应用

    概率论作为数理统计的理论基础是尽人皆知的,下面介绍概率论本身在各方面的应用情况。
    在物理学方面,高能电子或核子穿过吸收体时,产生级联(或倍增)现象,在研究电子-光子级联过程的起伏问题时,要用到随机过程,当核子穿到吸收体的某一深度时,则可用扩散方程来计算核子的概率分布,物理学中的放射性衰变,粒子计数器和原子核反应堆中问题的研究,都要用到泊松过程和更新理论。
    湍流理论以及天文学中的星云密度起伏,辐射传递等研究要用到随机场的理论,探讨太阳黑子的规律及其预测时,时间序列方法非常有用。
    化学反应动力学中,研究化学反应的时变率及影响这些时变率的因素问题,自动催化反应、单分子反应、双分子反应及一些连锁反应的动力学模型等,都要以生灭过程来描述。
    随机过程理论所提出的方法对于生物数学有很大的帮助,许多研究工作者以此来构造生物现象的模型,研究群体的增长问题时提出了生灭随机模型,两性增长模型,群体迁移模型,增长过程的扩散模型等等。
    传染病流行问题要用到具有有限个状态的多变量非线性生灭过程,在遗传问题中,着重研究群体经过多少代遗传后,进入某一固定类和首次进入此固定类的时间,以及最大基因频率的分布等。
    许多服务系统,如电话通信、船舶装卸、机器损修、病人候诊、红绿灯交换、存货控制、水库调度、购货排队等等,都可用一类概率模型来描述,这类概率模型涉及的过程叫做排队过程,它是点过程的特例。
    在通信、雷达探测、地震探测等领域中,都有传递信号和接收信号的问题。传递信号时会受到噪声的干扰,为了准确地传递和接收信号,就要把干扰的性质分析清楚,然后采取办法消除干扰,这是信息论的主要目的,噪声本身是随机的,所以概率论是信息论研究必不可少的工具。
    在空间科学和工业生产的自动化技术中需要用到信息论和控制理论,而研究带随机干扰的控制问题,都要用到概率论方法。
    概率论进入其他科学领域的趋势还在不断发展,在纯数学领域内用概率论方法研究数论问题已有很好的结果。在社会科学领域,特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题,也大量采用概率论方法。
    一句话“上至天文地理,下至鸡毛蒜皮”都会与概率论有关.

二、数理统计学的应用

    数理统计方法在工农业生产,自然科学,技术科学以及社会经济领域中都有广泛应用,然而按其性质来说,基本上是一个辅助性工具,它的恰当应用依赖于所论问题的专门知识,经验以及良好的组织工作。

    在农业中应用的两个主要方面:
    一是对田间试验进行适当的设计和统计分析。农业试验由于周期长且环境因素变异性大,特别需要对试验方案作精心设计,并使用有效的统计分析方法。
    在农业应用的另一方面是数量遗传学的方法,例如培育高产品种的研究中的数据分析使用了多种统计方法,如在遗传力的计算上,用了很复杂的回归和方差分析方法。

    在工业中的应用有两个主要方面:
    1. 在工业生产中,常有试制新产品和改进老产品、改革工艺流程、用新材料取代原材料和寻求适当的配方等问题。影响产品质量的因素一般很多,在进行试验时要用到各种多因素设计方法,及与之相应的统计分析方法,以判断那些因素是重要的,那些是次要的,并决定一组最优的生产条件. 正交设计、回归设计与回归分析、方差分析、多元分析等统计方法是处理这类问题的有力工具。
    2. 现代工业生产多有大批量和要求高可靠的特点,为保证产品质量需要在连续的生产过程中进行工序的控制,制定成批产品的抽样验收方案,对大批生产的元件进行寿命试验,以估计元件的可靠性及包含大量各种元件的系统的可靠性,为解决这些问题发展了一些统计方法,如各种形式的质量控制图、抽样检验、可靠性分析等等。它们构成统计质量管理的内容,这些方法是20世纪二三十年代开始发展起来的,几十年来的经验表明,它们起了相当大的作用。

    医学是较早使用数理统计方法的领域之一.
    在防治一种疾病时,需要找出导致这种疾病的种种因素,统计方法在发现和验证这种因素上是一个重要工具。例如长期以来人们怀疑肺癌的发生与吸烟有关,这一点得到了大量统计资料的证实。
    另一方面的应用是,通过临床试验,用统计分析确定一种药物对治疗某种疾病是否有用,用处多大,以及比较几种药物或治疗方法的效力。此时,对比试验、列联表、回归分析等是这方面的常用工具。统计方法在医学中应用之广,可以由在关于医药的广告中也常引用统计数字这样一个现象看出。

在自然科学与技术科学中的应用,分为两个方面:
    1. 在基础理论研究中,常常从一种观点出发,根据初步观察结果,而提出一种学说或假说. 它们是否正确,或在多大程度上正确,要诉诸大规模的实验验证,这里面就有实验的设计和数据的统计分析问题,有时通过统计分析发现某种规律性,然后在理论上去寻找解释。一个著名的例子是门德尔的遗传定律,门德尔通过豌豆试验发现了这个定律,以后由很多人通过进一步的试验,并用数理统计学中的“拟合优度检验法”检验过,为这个定律寻求理论上的解释,是导致“基因学说”建立的一个重要原因。
    2. 在应用性的研究中,常常因为对所研究的现象的规律性认识不充分,而不得不主要依靠对实验的观察数据的分析,去提出解决问题的方法。例如,统计方法用于地震、气象、水文方面的预报都有一定的效果。又如地质勘探中,人们在一个地区的若干个点(点的选择有统计上的考虑)进行观察,对其结果用种种统计方法,如趋势面分析、对应分析(见多元统计分析)等去进行处理,去建立某种经验性质的规律,用于指导找矿。

    由于数理统计方法在上述各领域中的作用很大,以致出版了一些阐述统计方法在这些领域中应用的专著,通过分析试验数据而建立经验公式,是技术科学中常用的一种方法。

    数理统计方法对社会,经济领域也有重要意义,在某些数理统计学发达的国家,统计方法在这些领域的应用,比它在自然科学和技术科学中的应用更早且更广泛。
    统计方法在社会领域中的应用有两个重要方面:
    一是抽样调查. 在人力物力时间不允许进行全面调查时,使用抽样调查可以做到省时、省力、快速,并获得满意结果。有时,经过精心设计和组织的抽样调查,其效果甚至比全面调查更好。因为全面调查由于工作量太大,常不免产生一些人为性的错误。
    二是定量化地研究社会现象. 在经济科学中,定量化趋势比其他社会科学部门更早且程度更深。如早在20世纪二三十年代时间序列分析方法就曾用于市场预测,现已建立了一门边缘学科——数量经济学,从简单的回归分析方法到艰深的随机过程统计方法都在其中找到了应用。

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